阿基米德分牛(阿基米德的牛群问题)

阿基米德分牛问题 太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。
在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。
在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数的1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。 问这牛群是怎样组成的？
解：如果用字母X、Y、Z、T分别表示白、黑、花、棕各色的公牛数；用x、y、z、t分别表示白、黑、花、棕各色母牛数，则得8个未知数的如下7个方程：
由方程（1），（2），（3），得6X – 5Y = 6T，20Y – 9Z = 20T，42Z – 13X = 42T。以这三个方程解未知数X，Y，Z，得：
因为891和1580没有公因子，T必定是891的某一整倍数——假设为G倍，因此得 （I） X = 2226G，Y = 1602G，Z = 1580G，T = 891G。
若将这些值代入方程（4），（5）、（6）、（7），得下列方程： 12x – 7y = 11214G，20y – 9z = 14220G，30z – 11t = 9801G，42t – 13x = 28938G。
解这些方程的四个未知数x，y、z、t，得 （II） cx = 720630G，cy = 4893246G，cz = 3515820G，ct = 549213G。
其中，c是素数4657。因为在各式右边G的系数中没有一个可以被c整除，所以G必定是1 算术题 c的整数倍。 G = cg。 如果把这个G代入（I）和（II），最后可得到下列各关系式： （I） X = 10366482g，Y = 7460514g，Z = 7358060g，T = 4149387g， （II） x = 7206360g，y = 4893246g，z = 3515820g，t = 5439213g。 这里g可以是任何正整数。
所以，本题具有无数组解。若指定g值为1，则得下列最小数值的解： 白公牛：10,366,482；白母牛：7,206,360； 黑公牛： 7,460,514；黑母牛：4,893,246； 花公牛： 7,358,060；花母牛：3,515,820； 棕公牛： 4,149,387；棕母牛：5,439,213。
史料：如上面解答所示，至少依据目前的概念，分牛问题确切地说不能被认为是个很难的问题。然而，由于在古代常常把一道难解的题叫做分牛问题或者阿基米德题，特别考虑到阿基米德（Archimedes）的其他辉煌成就，以及他把这个分牛之题献给古代希腊后期亚历山大城的天文学家厄拉多塞尼（Eratosehenes）的这一事实，可以设想以上所述及的问题的方式并不代表阿基米德问题完整和原始的形式。
G·E·莱辛（Gotthold Ephraim Lessing）于1773年在沃尔芬比特尔图书馆发现一本希腊文手抄本，其中就有一篇关于该题“更完整”的阐述。该题由22句对偶句组成（或称为韵文），以诗歌形式出现： “朋友，请准确无误地数一数太阳神的牛群。要数得十分仔细，如果你自认为还有几分聪明：多少头牛在西西里岛草地上吃过草，它们分为四群，在那里来往踱步。各群颜色不同：第一群像牛乳那样洁白，第二群闪耀着深乌木般的光泽，第三群毛色棕黄，第四群满身斑斓，每群中公牛数总大大超过母牛。现在，告诉你这些牛群间的比例：白牛数等于棕牛数再加上黑牛数的三分之一和二分之一。此外，黑牛数为花牛数的四分之一加五分之一，再加上全部棕牛。朋友，最后你必须记住，花牛数是白牛数的六分之一加七分之一再加上全部棕色母牛。但是母牛群中，比例却大不相同：白母牛等于黑色公、母牛全部的三分之一加四分之一。而黑母牛为全部花牛的四分之一加五分之一，这里要注意，每头花母牛和花公牛都要算进去。同样，花母牛的头数是全部棕牛的五分之一加六分之一。最后棕色母牛与全部白牛的六分之一加七分之一相等。朋友，如果你能确切告诉我，这些膘壮肌肥、毛色各殊的公母牛，一共多少聚集在那里？这样你才不愧为精通计数。但是你还算不上一个聪明人，除非用我给出的新数据来回答问题：当所有黑白公牛齐集在一起，就排出一个阵形，纵横相等；辽阔的西西里原野，布满大量的公牛。当棕色公牛与花公牛在一起，便排成一个三角形，一头公牛站在三角形顶端，棕色公牛无一头掉队，花公牛也头头在场，这里没有一头牛和他们的毛色不同。如果你把这些条件一一牢记，胸有妙算，朋友，如果你能说出每群牛的组成和头数，那你就是胜利者，可昂首前进，因为你的声誉将在智慧的世界里永放光芒。”
然而莱辛对本题是否撰自阿基米德持有异议，内塞尔曼（Nesselmann）、法国作家凡桑（Vincent）、英国人R·贝尔（Rouse Ball）以及其他人也都持有异议。
另一方面，研究阿基米德的著名权威丹麦人J·L·海伯格（J· L· Heilberg）、法国数学家P·达内瑞（P· Tannery）以及克鲁姆比格尔（Krummbiegel）和安姆托尔（Amthor）都认为这个问题的完整形式应归功于阿基米德。 在倒数第七联对偶句中提出的两个条件要求X + Y是一个平方数U^2，而Z + T是一个三角形数1/2v(v+1)，由此得下列各关系式：
（8） X + Y = U^2， 2 算术题 （9） 2Z + 2T = V^2 + V。
如果根据（I）把X，Y，Z，T的数值代入（8）和（9），这两方程变成
3828G = U^2及4942G = V^2 + V。
如果用4a（a = 3 × 11 × 29 = 957），b及cg分别代3828，4942及G，得：
（8） U^2 = 4acg， （9） V^2 + V = bcg。
从而U是2，a和c的整倍数： U = 2acu，
这样， U^2 = 4a^2c^2u^2 = 4acg，
（8） g = acu^2
若把g的这个数值代入（9），得： V^2 + V = abc2^u^2或(2V + 1)2 = 4abc^2u^2 + 1。
若将未知数2V + 1用v表示，而且把 4abc^2 = 4 × 3 × 11 × 29 × 2 × 7 × 353 × 46572的乘积记为d，最后的方程变为：
v^2 – du^2 = 1。
这就是所谓费马（Fermat）方程，可求解。然而，因为d的值十分巨大，解答非常困难， d = 410286423278424。 即使费马方程关于u和v的最小解答也会导致天文数字。
即使将u指定为可以设想的最小数1，在解g时，ac的值为4456749。这样白牛和黑牛数的和将超过79万亿。可是西西里岛的面积不过2550平方公里，即0.0255万亿平方米，还不到301万亿平方米，把这么多的牛放牧在这个岛上是不可能的，这和第十七、十八联对偶句论断矛盾。